OpenAI 的 coding 面試裡也很常見一類題，表面看很像普通區間枚舉，但只要真的按所有子陣列去掃，時間複雜度會立刻爆掉。這道題就是很典型的代表。
題目給你 1...n 這 n 個元素，再給一批衝突對 (a, b)。如果某個連續區間裡同時包含 a 和 b，那這個區間就不合法。問題是：一共有多少個非空連續區間是合法的？
單點區間允許，空區間不允許。
這題最容易走偏的方向，就是把它當成「枚舉所有 [l, r] 再檢查是否合法」。但只要 n 到了 10^5，O(n²) 幾乎沒有通過的可能。
先看例子，為什麼這題本質不是暴力判定
假設：
n = 5allergic = [1, 2]poisonous = [3, 5]
也就是衝突對有兩組：
(1, 3)(2, 5)
合法區間包括：
[1][1,2][2][2,3][3][2,3,4][3,4][4][3,4,5][4,5][5]
這個例子裡最關鍵的觀察不是「哪些區間合法」，而是：
對每個固定的右端點
r，最左可以從哪裡開始，才能保證[l, r]合法？
只要這個最左邊界知道了，以 r 結尾的合法區間數就能立刻算出來。
這題真正要算的是：每一列的最左合法起點
把每個右端點 r 想成一列。
如果你知道對這個 r 來說，最左合法起點是 left[r]，那麼所有合法區間就是：
[left[r], r][left[r] + 1, r]- ...
[r, r]
所以以 r 結尾的合法區間數就是：
r - left[r] + 1
整題答案就是把所有右端點的這一項加總。
也就是說，問題已經從「統計所有合法區間」被改寫成了：
如何快速求出每個右端點對應的最左合法起點？
這一步一旦看懂，題目就會從區間枚舉題變成線性掃描題。
第一步：先記錄每個點左邊最大的衝突位置
對每一對衝突 (a, b)，先整理成 a < b。
如果把 b 看成右端點，那只要一個區間同時包含 a 和 b，它就非法。這代表：
當右端點來到 b 時，左邊界就不能再放到 a 或更左，否則 a 和 b 會同時被包含進來。
因此，對每個位置 b，我們只需要關心：
在它左邊，最大的那個與它衝突的點是誰？
為什麼只看最大的那個？
因為它帶來最強的限制。比它更小的衝突點，不會把左邊界推得更靠右。
在上面的例子裡，我們會得到：
1左邊沒有衝突點2左邊沒有衝突點3左邊最大的衝突點是14左邊沒有新增衝突點5左邊最大的衝突點是2
這一步可以用陣列或哈希表維護，每條衝突邊只需處理一次。
第二步：為什麼「當前衝突點 + 1」還是不夠
很多人走到這裡，會覺得答案已經出來了：
如果右端點是 r，那最左合法起點不就是「最大衝突點 + 1」嗎？
這個想法只對了一半。
問題在於，右端點往右移動時，前面已經形成的限制不會消失。
還是同樣的例子：
- 當
r = 3時，因為(1,3)存在，所以左邊界至少要從2開始 - 當
r = 4時，雖然4自己沒有新增衝突，但[1,4]仍然不合法，因為它還是包含了1和3
這說明右端點來到 4 時，左邊界限制至少要維持前一列的水準，不能因為「當前點沒有衝突」就往回退。
所以真正的轉移關係是：
當前列的限制 = 當前新增限制 和 前一列限制 中的較大者
本質上，這就是一個前綴最大值傳播。
正確的核心轉移
設 bad[r] 表示：當右端點是 r 時，左邊最大的衝突位置。
那真正有效的限制不是原始的 bad[r]，而是它的前綴最大值。
因為所有更早出現過的衝突約束，都會持續影響後面所有右端點。
於是從左到右掃一遍時：
- 目前位置的限制，要和前一個位置繼承下來的限制取最大值
- 一旦這個最大限制確定，最左合法起點就是
maxBad[r] + 1 - 以
r結尾的合法區間數就是r - maxBad[r]
這裡之所以不是再多一個 +1，是因為：
- 最左起點是
maxBad[r] + 1 - 可選起點總數是
r - (maxBad[r] + 1) + 1 = r - maxBad[r]
這就是整題可以線性計數的根源。
為什麼這題可以做到線性
整個流程其實非常緊湊：
- 掃一遍所有衝突對，把每個右端點的「左側最大衝突點」記下來
- 再從
1到n做一次前綴最大值傳播 - 順手累加每個右端點的合法區間貢獻
如果衝突對數量記為 m，總複雜度就是：
- 時間複雜度：
O(n + m) - 空間複雜度：
O(n)
這也是它在 n = 10^5 級別下仍然能穩定通過的原因。
這題最容易錯的地方
1. 把它寫成區間暴力枚舉
這是最直接的超時來源。
只要你還在想「固定左端點，再往右擴」，基本上就已經偏離正解方向了。這題真正該固定的是右端點，而不是逐個驗證區間本身。
2. 只看當前位置的新衝突，不繼承前面的限制
這是最常見的邏輯 bug。
很多同學能想到給每個 b 記錄一個最大的 a，但沒有意識到舊限制會持續影響後面所有位置，於是答案會在某些列被多算。
3. 沒有先統一成 a < b
衝突對本身沒有方向，但在這題裡我們討論的是「右端點的左側最大限制」，所以一定要先把每條邊標準化成左小右大，後面才能統一處理。
4. 最後數貢獻時下標關係寫錯
這類題最後最容易不是模型錯，而是：
- 左邊界是從
maxBad + 1開始 - 區間個數是
r - left + 1
只要這裡沒有扣清楚，很容易多一個或少一個。
OpenAI 在這題裡真正考什麼
這題看起來像計數題，但本質上在考的是：
- 你能不能把「區間是否合法」改寫成「右端點受什麼限制」
- 你能不能識別出限制是單調繼承的
- 你能不能把局部衝突壓成全局可遞推的資訊
這正是 OpenAI coding 題裡也很常見的風格：
- 題面看似業務化
- 暴力方向很自然，但一定超時
- 真正正解通常來自某個「壓縮後的單調結構」
只要抓住這一點，這類題通常就會順很多。
📌 最後總結
這道題最值得記住的，不是某個模板，而是這個轉化過程：
- 原問題：統計所有合法連續區間
- 關鍵改寫：對每個右端點，求最左合法起點
- 核心結構：每個位置記錄左側最大衝突點，再做前綴最大值傳播
一旦這樣看，整題就能從 O(n²) 直接降到 O(n + m)。
如果你最近在準備 OpenAI coding 面試，這類「把區間合法性改寫成邊界遞推」的題型非常值得單獨練熟。很多時候，真正的門檻不是實作，而是你有沒有及時看出該固定哪一端。
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