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Google VO 真题：找到最大子数组和的数对 - O(n) 前缀和解法

2026-01-24

问题描述

给定一个整数数组，找到两个不相交的子数组，使得它们的子数组和之和最大。

示例：

输入: [1, -2, 3, 4, -5, 8]
输出: 15
解释: 子数组 [3, 4] (和为7) 和 [8] (和为8)，总和为15

解题思路

方法一：暴力解法 O(n²)

最直接的想法是枚举所有可能的两个子数组组合，计算它们的和。

def maxSumTwoPairs(arr):
    n = len(arr)
    max_sum = float('-inf')
    
    # 枚举第一个子数组
    for i in range(n):
        sum1 = 0
        for j in range(i, n):
            sum1 += arr[j]
            
            # 枚举第二个子数组（必须在第一个之后）
            for k in range(j + 1, n):
                sum2 = 0
                for l in range(k, n):
                    sum2 += arr[l]
                    max_sum = max(max_sum, sum1 + sum2)
    
    return max_sum

时间复杂度： O(n⁴)
空间复杂度： O(1)

方法二：前缀和优化 O(n²)

使用前缀和数组，可以在 O(1) 时间内计算任意子数组的和。

def maxSumTwoPairs(arr):
    n = len(arr)
    
    # 构建前缀和数组
    prefix = [0] * (n + 1)
    for i in range(n):
        prefix[i + 1] = prefix[i] + arr[i]
    
    def getSum(i, j):
        # 计算 arr[i:j+1] 的和
        return prefix[j + 1] - prefix[i]
    
    max_sum = float('-inf')
    
    # 枚举分割点
    for split in range(n):
        # 第一个子数组在 [0, split]
        # 第二个子数组在 [split+1, n-1]
        
        max_sum1 = float('-inf')
        for i in range(split + 1):
            for j in range(i, split + 1):
                max_sum1 = max(max_sum1, getSum(i, j))
        
        max_sum2 = float('-inf')
        for i in range(split + 1, n):
            for j in range(i, n):
                max_sum2 = max(max_sum2, getSum(i, j))
        
        if max_sum1 != float('-inf') and max_sum2 != float('-inf'):
            max_sum = max(max_sum, max_sum1 + max_sum2)
    
    return max_sum

时间复杂度： O(n²)
空间复杂度： O(n)

方法三：动态规划 O(n) ⭐ 最优解

关键观察：对于每个分割点，我们需要快速找到左边的最大子数组和和右边的最大子数组和。

使用两个 DP 数组：

def maxSumTwoPairs(arr):
    n = len(arr)
    if n < 2:
        return 0
    
    # left_max[i] = arr[0:i+1] 中的最大子数组和
    left_max = [0] * n
    max_ending_here = arr[0]
    left_max[0] = arr[0]
    
    for i in range(1, n):
        max_ending_here = max(arr[i], max_ending_here + arr[i])
        left_max[i] = max(left_max[i - 1], max_ending_here)
    
    # right_max[i] = arr[i:n] 中的最大子数组和
    right_max = [0] * n
    max_ending_here = arr[n - 1]
    right_max[n - 1] = arr[n - 1]
    
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        max_ending_here = max(arr[i], max_ending_here + arr[i])
        right_max[i] = max(right_max[i + 1], max_ending_here)
    
    # 枚举分割点，找最大和
    max_sum = float('-inf')
    for i in range(n - 1):
        max_sum = max(max_sum, left_max[i] + right_max[i + 1])
    
    return max_sum

时间复杂度： O(n)
空间复杂度： O(n)

核心要点

  1. Kadane 算法：用于在 O(n) 时间内找到最大子数组和
  2. 前缀和思想：快速计算任意区间的和
  3. 分治策略：将问题分为左右两部分，分别求最优解
  4. DP 状态定义：清晰的状态转移方程是关键

面试技巧

常见陷阱

❌ 忘记两个子数组必须不相交
❌ 没有正确处理 Kadane 算法的初始化
❌ 分割点的边界条件错误
✅ 使用 DP 预处理左右最大值，确保 O(n) 时间复杂度

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