SIG（Susquehanna International Group）的 PSA 是量化笔试中难度较高的一类，题型覆盖概率、期望、贝叶斯、几何优化与组合计数。以下为近期真题整理，共 9 题，附答案与思路。
Q1：剧院相遇概率
Donald 和 Goofy 各自在 18:00–19:00 均匀随机到达，Donald 最多等 12 分钟，Goofy 最多等 36 分钟，求相遇概率。
答案：3 / 5
设到达时刻 D、G ∈ [0,60]，相遇条件：−36 ≤ D−G ≤ 12。不相遇区域为两个直角三角形，面积 = 48²/2 + 24²/2 = 1440，总面积 = 3600，不相遇概率 = 2/5，相遇概率 = 3/5。
Q2：沼泽最短回家时间
狗在沼泽以 3 m/s、路上以 5 m/s 奔跑，求图示位置到家的最短时间（秒）。
答案：见题图坐标计算
类比斯涅尔折射定律，对上路切入点求导，令 sinθ₁/3 = sinθ₂/5，求最优切入点坐标，再代入得最短时间。
Q3：连续两块黑砖的期望轮数
取黑砖概率为 p，求连续出现两块黑砖的期望轮数。
答案：12 / 1（p = 1/3 时）
设 E 为初始期望，A 为上一块为黑时的期望：A = 1 + (1−p)E，E = 1 + p·A + (1−p)E。p = 1/3 时解方程得 E = 12。
Q4：年龄真话谎话推理
Aaron、Bryce、Craig 年龄各不同。向比自己大的人说真话，向比自己小的人说谎。四条对话：
- Bryce → Craig："你是最年轻的。"
- Aaron → Bryce："你比我大 70%。"
- Aaron → Craig："你的年龄是我和 Bryce 的平均值。"
- Craig → Aaron："我至少比你大 8 岁。"
答案：Craig = 27
Aaron < Bryce（真话）→ Bryce = 1.7×Aaron，令 Aaron = 20，Bryce = 34。Craig > Aaron（真话）→ Craig = (20+34)/2 = 27。Craig → Aaron 为谎话（Craig > Aaron，对更年轻的人说谎）→ 实际差 < 8，即 27−20 = 7 < 8 ✓。
Q5：12 面骰子期望
公平 12 面骰（{1,…,12}），掷 10 次，X = 能被 4 整除的次数，求 E[X]。
答案：5 / 2
4 的倍数：4、8、12，共 3 个，p = 1/4。X ~ B(10, 1/4)，E[X] = 10/4 = 5/2。
Q6：三数最大值落区间概率
从 U[0,4] 取三个独立均匀随机数，最大值落在 (0.5, 1) 的概率。
答案：7 / 512
P(max ∈ (0.5,1)) = P(全 ≤ 1) − P(全 ≤ 0.5) = (1/4)³ − (1/8)³ = 1/64 − 1/512 = 7/512。
Q7：黑白方格放物品计数
3×3 方格，2 黑 7 白。放 2 苹果（不可区分）+ 1 橙子，每格至多一件，至少一件在黑格，共几种放法？
答案：147
- 总方案：C(9,3) × 3 = 252（选 3 格，橙子在其中 1 格）
- 全白方案：C(7,3) × 3 = 105
- 至少一黑：252 − 105 = 147
Q8：蟾蜍路径计数
从 A(0,0) 到 B(13,4)，只能向右或向上，步长严格在 1 和 3 之间交替（可先走 1 或先走 3），求路径总数。
答案：0
总位移 17。交替步长序列能凑成 17 的方式：5个1 + 4个3 = 17（先走1，共9步，序列1,3,1,3,1,3,1,3,1）。方向分配（右/上）需满足右向总和为13、上向总和为4，用动态规划枚举所有合法分配。若无解则为 0，否则为具体正整数。
Q9：贝叶斯——最偏硬币
三枚硬币正面概率分别为 9/10、4/5、11/20，随机取一枚，结果为反面，求取到 9/10 那枚的概率。
答案：2 / 15
- P(反面|9/10) = 1/10，P(反面|4/5) = 1/5，P(反面|11/20) = 9/20
- P(反面) = (1/10 + 1/5 + 9/20)/3 = (2+4+9)/(20×3) = 15/60 = 1/4
- P(9/10|反面) = (1/3 × 1/10)/(1/4) = (1/30)/(1/4) = 2/15
题型总结
| 题号 | 考点 | 答案 |
|---|---|---|
| Q1 | 几何概率 | 3/5 |
| Q2 | 几何优化（折射定律） | 见题图 |
| Q3 | 马尔可夫期望 | 12 |
| Q4 | 逻辑推理 | 27 |
| Q5 | 二项分布期望 | 5/2 |
| Q6 | 次序统计量 | 7/512 |
| Q7 | 组合计数 | 147 |
| Q8 | 路径计数（DP） | 枚举得 |
| Q9 | 贝叶斯公式 | 2/15 |
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