SIG（Susquehanna International Group）的 PSA 是量化筆試中難度較高的一類，題型覆蓋概率、期望、貝葉斯、幾何優化與組合計數。以下為近期真題整理，共 9 題，附答案與思路。
Q1：劇院相遇概率
Donald 和 Goofy 各自在 18:00–19:00 均勻隨機到達劇院，Donald 最多等 12 分鐘，Goofy 最多等 36 分鐘，求相遇概率。
答案：3 / 5
設到達時刻 D、G 屬於 [0,60]（分鐘），相遇條件：-36 小於等於 D-G 小於等於 12。不相遇區域為兩個直角三角形，面積 = 48²/2 + 24²/2 = 1440，總面積 = 3600，不相遇概率 = 2/5，相遇概率 = 3/5。
Q2：沼澤最短回家時間
狗在沼澤以 3 m/s、路上以 5 m/s 奔跑，求從圖示位置到家的最短時間（秒）。
答案：依題圖坐標計算
類比斯涅爾折射定律，對上路切入點求導，令 sinθ₁/3 = sinθ₂/5，求最優切入點坐標，再代入得最短時間。
Q3：連續兩塊黑磚的期望輪數
取黑磚概率為 p，求連續出現兩塊黑磚的期望輪數。
答案：12 / 1（p = 1/3 時）
設 E 為初始期望，A 為上一塊為黑時的期望：A = 1 + (1-p)E，E = 1 + p·A + (1-p)E。p = 1/3 時解方程得 E = 12。
Q4：年齡真話謊話推理
Aaron、Bryce、Craig 年齡各不同。向比自己大的人說真話，向比自己小的人說謊。四條對話：
- Bryce 對 Craig：「你是最年輕的。」
- Aaron 對 Bryce：「你比我大 70%。」
- Aaron 對 Craig：「你的年齡是我和 Bryce 的平均值。」
- Craig 對 Aaron：「我至少比你大 8 歲。」
答案：Craig = 27
Aaron 小於 Bryce（說真話）→ Bryce = 1.7 x Aaron，令 Aaron = 20，Bryce = 34。Aaron 小於 Craig（說真話）→ Craig = (20+34)/2 = 27。Craig 大於 Aaron（對更年輕的人說謊）→ 實際差小於 8，即 27-20 = 7 < 8，所有條件成立。
Q5：12 面骰子期望
公平 12 面骰（{1,...,12}），擲 10 次，X = 能被 4 整除的次數，求 E[X]。
答案：5 / 2
4 的倍數：4、8、12，共 3 個，p = 1/4。X 服從 B(10, 1/4)，E[X] = 10/4 = 5/2。
Q6：三數最大值落區間概率
從 U[0,4] 取三個獨立均勻隨機數，最大值落在 (0.5, 1) 的概率。
答案：7 / 512
P(最大值落在(0.5,1)) = P(全部小於等於1) - P(全部小於等於0.5) = (1/4)³ - (1/8)³ = 1/64 - 1/512 = 7/512。
Q7：黑白方格放物品計數
3×3 方格，2 黑 7 白。放 2 蘋果（不可區分）+ 1 橙子，每格至多一件，至少一件在黑格，共幾種放法？
答案：147
- 總方案：C(9,3) x 3 = 252（選 3 格，橙子在其中 1 格）
- 全白方案：C(7,3) x 3 = 105
- 至少一黑：252 - 105 = 147
Q8：蟾蜍路徑計數
從 A(0,0) 到 B(13,4)，只能向右或向上，步長嚴格在 1 和 3 之間交替（可先走 1 或先走 3），求路徑總數。
答案：用動態規劃枚舉
總位移 17。有效步長分解之一：5 個 1 步 + 4 個 3 步 = 17（以 1 開頭，共 9 步，序列：1,3,1,3,1,3,1,3,1）。對每種有效步長序列，用動態規劃計算將各步分配為向右或向上，使總右移 = 13、總上移 = 4 的方案數。
Q9：貝葉斯——最偏硬幣
三枚硬幣正面概率分別為 9/10、4/5、11/20，隨機取一枚，結果為反面，求取到 9/10 那枚的概率。
答案：2 / 15
- P(反面|9/10) = 1/10，P(反面|4/5) = 1/5，P(反面|11/20) = 9/20
- P(反面) = (1/10 + 1/5 + 9/20)/3 = 15/60 = 1/4
- P(9/10|反面) = (1/3 x 1/10)/(1/4) = 2/15
題型總結
| 題號 | 考點 | 答案 |
|---|---|---|
| Q1 | 幾何概率 | 3/5 |
| Q2 | 幾何優化（折射定律） | 依題圖 |
| Q3 | 馬可夫鏈期望 | 12 |
| Q4 | 邏輯推理 | 27 |
| Q5 | 二項分布期望 | 5/2 |
| Q6 | 次序統計量 | 7/512 |
| Q7 | 組合計數 | 147 |
| Q8 | 路徑計數（DP） | 枚舉 |
| Q9 | 貝葉斯公式 | 2/15 |
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