Microsoft Intern OA 真题解析 | 最大力量总和与动态规划

Microsoft的Intern OA以其高质量的算法题目著称，经常考察候选人对经典算法模型的深度理解和优化能力。今天我们来深度解析一道来自Microsoft Intern OA的经典题目：最大力量总和问题。

题目描述

给定一个数组arr，你可以进行相邻元素的交换操作。每次交换后，你需要计算数组的"力量总和"：

• 力量总和 = Σ(i+1) × arr[i]，其中i是数组索引
• 目标：通过最多一次相邻交换，使力量总和达到最大值

问题分析

这道题的核心在于理解交换操作对力量总和的影响。让我们分析一下：

1. 基础力量总和：不进行任何交换时的总和
2. 交换增益：相邻交换能带来的额外收益
3. 最优策略：选择哪些相邻位置进行交换

算法思路

这道题的精妙之处在于将问题转化为打家劫舍式动态规划：

1. 计算基础力量总和（不交换任何元素）
2. 计算每个相邻交换的增益：arr[i] - arr[i+1]
3. 使用DP选择不相邻的交换操作，使总增益最大

代码实现

def getMaximumSumOfStrengths(arr):
    n = len(arr)
    # 基础不交换的总和 | baseline sum without any swap
    total_profit = 0
    for i in range(n):
        total_profit += (i+1) * arr[i]
    if n <= 1:
        return total_profit
    # 打家劫舍式DP：权重是相邻交换的正增益 | House-Robber DP on positive gains
    prev2 = 0
    prev1 = max(0, arr[0] - arr[1])  # dp[0]
    for i in range(1, n - 1):
        diff = max(0, arr[i] - arr[i + 1])
        curr_max = max(prev1, prev2 + diff)  # 不选i vs 选i | skip i vs take i
        prev2, prev1 = prev1, curr_max
    return total_profit + prev1

算法解析

1. 基础力量总和计算

首先计算不进行任何交换时的力量总和，这是我们的基准值。

2. 交换增益分析

对于相邻位置i和i+1，交换后的增益为：

• 原值：(i+1) × arr[i] + (i+2) × arr[i+1]
• 交换后：(i+1) × arr[i+1] + (i+2) × arr[i]
• 增益：arr[i] - arr[i+1]

3. 打家劫舍式DP

由于相邻交换会相互影响，我们需要选择不相邻的交换操作。这转化为经典的"打家劫舍"问题：

• prev1：不选择当前位置交换的最大增益
• prev2：选择前一个位置交换的最大增益
• 状态转移：curr_max = max(prev1, prev2 + diff)

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n) - 单次遍历数组
• 空间复杂度：O(1) - 只使用常数个变量

示例验证

假设数组为[3, 1, 4, 2]：

1. 基础总和：1×3 + 2×1 + 3×4 + 4×2 = 3 + 2 + 12 + 8 = 25
2. 交换增益：[2, -3, 2]（只考虑正增益）
3. DP选择：选择位置0和位置2的交换，总增益为4
4. 最终结果：25 + 4 = 29

总结

这道Microsoft OA题目巧妙地结合了贪心思想和动态规划，考察了候选人对以下概念的理解：

• 问题建模和转化能力
• 经典DP模型的应用（打家劫舍）
• 空间优化技巧
• 边界条件处理

在面试中，除了写出正确的代码，还需要能够清晰地解释算法思路，分析复杂度，并处理各种边界情况。

备考建议

Microsoft的OA题目通常具有以下特点：

• 题目描述清晰，但需要深入理解题意
• 往往有巧妙的优化解法
• 考察对经典算法模型的灵活应用

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